Verze z 29. 1. 2024, 20:48

Vytváření matematických modelů

Stav procesu je charakterizován hodnotami veličin, které jej popisují (tzv. stavové veličiny). Jsou to teplota, tlak, množství či koncentrace složek apod. Matematickým modelem procesu nebo zařízení rozumíme matematické vztahy mezi těmito veličinami, nejčastěji v závislosti na čase. Hovoříme pak o tzv. dynamice procesu. Matematickými vztahy jsou nejčastěji diferenciální rovnice (obyčejné i parciální) nebo jejich soustavy, ale také nelineární rovnice a jejich soustavy, soustavy lineárních rovnic apod. Pro účely automatického řízení se často užívá matematického popisu ve tvaru přenosové funkce, což má některé výhody, jak se dozvíme později.

Matematické modely můžeme podle způsobu vytváření rozdělit na dvě základní kategorie: modely stochastické a modely deterministické (nebo také fyzikální).

Stochastické modely předpokládají, že modelovaný systém je „černá skříňka“ s definovanými vstupy a výstupy. Vytváříme je zhruba následujícím postupem :

na základě předpokládaného chování systému zvolíme vhodný tvar matematického popisu (často to bývá přenosová funkce), který obsahuje parametry neznámých hodnot,
na vstup systému přivádíme proměnlivý signál (může být skutečný nebo uměle generovaný) a v pravidelných (krátkých) časových intervalech měříme hodnoty vstupního a výstupního signálu tak dlouho, až získáme dostatečně dlouhé řady odpovídajících dvojic hodnot,
výsledky měření zpracujeme tak, abychom získali hodnoty parametrů zvoleného matematického popisu systému.

Tohoto postupu používáme tehdy, když nejsme schopni odvodit deterministický model, nebo při aplikaci některých speciálních algoritmů automatického číslicového řízení.

Deterministické modely jsou odvozovány na základě analýzy a matematického popisu skutečné podstaty děje. Těmito modely se budeme podrobněji zabývat a shrneme hlavní zásady a postupy jejich vytváření.

Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů

Proces (systém), který chceme matematicky popsat, se řídí podle určitých fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů, které mají své matematické vyjádření. Z tohoto vyjádření zákonů při sestavování deterministických modelů vycházíme. Někdy takto můžeme popsat všechny zadané podmínky a vztahy modelovaného procesu úplně a získat tak přesný matematický model. Takový matematický model ale bývá tak složitý, že jeho řešení je prakticky neproveditelné. Navíc většinou ani úplný popis získat nemůžeme, protože průběh děje do potřebných podrobností neznáme. V praxi ale obvykle nepotřebujeme naprosto přesné výsledky, stačí, když model vystihuje podstatné vlastnosti a chování procesu. Můžeme si tedy dovolit některé méně podstatné vlivy a vztahy zanedbat nebo zjednodušit. Konečným kritériem kvality a použitelnosti modelu je vždy jeho souhlas s realitou v souladu s účelem ke kterému byl vytvořen. Na obr. 2.1 jsou schématicky znázorněny jednotlivé fáze vytváření deterministického modelu.

	379x400px
	Obr.2.1 Postup vytváření matematického modelu

První fází je důkladná analýza procesu, při níž musíme provést následující kroky:

a) specifikujeme děje, které v procesu probíhají a určíme jejich podstatu,

b) vymezíme vlivy, které na proces a jeho průběh působí,

c) určíme veličiny, které proces popisují,

d) o každém z výše uvedených prvků rozhodneme, zda jej budeme považovat za podstatný a do modelu jej zahrneme, či nikoliv,

e) o každém z výše uvedených prvků zahrnutých do modelu rozhodneme, zda jej budeme brát v úvahu v celé šíři a ve všech souvislostech, nebo zda použijeme nějaká zjednodušení.

Výsledkem popsaného postupu je tzv. teoretický model. Ten sice nepopisuje zcela přesně skutečnost, ale jeho výhoda spočívá v jednoduchosti, přehlednosti a následně i ve snazším řešení výsledných rovnic.

V bodu e) se hovoří o zjednodušování některých vztahů při tvorbě teoretického modelu. Je to je velmi důležitý krok, který musíme vždy provádět a navíc má podstatný vliv na kvalitu výsledného modelu. Uvádíme proto výčet nejpoužívanějších zjednodušujících předpokladů:

* rozdělujeme složitý systém na jednodušší subsystémy a zpracováváme je odděleně, ovšem se zřetelem na jejich vzájemné souvislosti,
zavádíme neexistující formy, např. ideální plyn, ideální kapalina,

předpokládáme nezávislost látkových vlastností na teplotě,

předpokládáme, že materiál je homogenní a isotropní,

u systémů, kde probíhají současně pomalé a rychlé děje, předpokládáme, že rychlý děj již dosáhl rovnovážného stavu,

zanedbáváme ztráty,

nelineární závislosti linearizujeme,

zavádíme různé korekční (obvykle empirické) koeficienty,

používáme empiricky zjištěných vztahů a závislostí mezi veličinami,

zjednodušujeme geometrické proporce a volíme vhodné souřadnicové soustavy, abychom mohli co nejjednodušeji popsat geometrii systému,

zaváděním některých předpokladů odstraňujeme závislost sledovaných veličin na souřadnicích - získáváme tím tzv. modely se soustředěnými parametry.

Ve druhé fázi postupu sestavujeme na základě teoretického modelu matematický popis procesu. Znamená to provést následující kroky:

a) výběr matematického popisu zákonitostí použitých v teoretickém modelu,

b) vytvoření modelových rovnic, tj. doplnění vybraných vztahů o zjednodušující předpoklady a potřebné matematické úpravy,

c) určení podmínek řešení (obvykle počáteční a okrajové podmínky pro řešení diferenciálních rovnic).

V této fázi obvykle využíváme matematických rovnic vyjadřujících známé zákony a vztahy z fyziky, fyzikální chemie, chemie atd. Výsledkem tohoto postupu je obecný matematický model procesu. Může se však také stát, že náš teoretický model matematicky popsat nedokážeme; potom musíme buď změnit teoretický model (zavést jiné nebo další předpoklady), nebo v krajním případě musíme použít vhodných experimentálních postupů a jejich vyhodnocením získat náhradní popis děje (např. stochastický model).

Třetí fází celého postupu je řešení modelu, to znamená vytvoření simulačního programu. Představuje to provést tyto kroky:

a) volbu metody řešení modelových rovnic,

b) zpracování modelových rovnic pro řešení na počítači, tj. nalezení vhodného algoritmu řešení,

c) sestavení výpočetního programu, nejlépe s využitím vhodného simulačního jazyka.

Čtvrtou fází je vytvoření tzv. simulačního modelu. Jejím výsledkem je počítačový program vhodný pro používání v praxi. Tato fáze zahrnuje následující kroky:

a) identifikace modelu, tj. nalezení neznámých hodnot parametrů modelu (např. porovnáním získaných výsledků řešení s údaji z literatury, s experimentálními hodnotami apod.),

b) verifikace modelu, tj. řešení kontrolních úloh a analýza jejich výsledků za účelem ověření správnosti modelu v celé předpokládané oblasti použití, posouzení přesnosti a vhodnosti modelu pro daný účel.

Pokud model vyhovuje, práci jsme úspěšně dokončili a můžeme modelu používat. Jestliže nevyhovuje, musíme zjistit, v čem jsme se dopustili chyby, který předpoklad byl neoprávněný, které zjednodušení nepřípustné, který vliv jsme opominuli nebo neoprávněně zanedbali. Musíme zformulovat nový teoretický model a celý postup znovu zopakovat.

Je zřejmé, že tvorba matematického modelu není nijak jednoduchou záležitostí. Má však jednu velkou přednost: přinutí nás důkladně si ujasnit podstatu a mechanismus studovaného děje.

Na závěr bychom rádi zdůraznili jednu velmi důležitou zásadu: je třeba začínat vždy od teoretických modelů maximálně jednoduchých a komplikovat je teprve tehdy, když výsledky nevyhovují našim představám a požadavkům nebo praktickým zkušenostem.Vytváření matematických modelů na základě bilancí

Bilancemi rozumíme aplikaci zákonů o zachování na daný systém. Jejich využití při vytváření matematických modelů je velice časté - odhaduje se, že je to 70 až 80 % případů. Bilancovat lze jen tzv. extenzivní veličiny. V praxi se jedná nejčastěji o zákony o zachování hmoty a energie - hovoříme pak o látkových a energetických bilancích.

Chceme-li se zabývat bilancováním, musíme si nejprve vyjasnit některé základní pojmy. Je to především bilancovaný systém. Rozumíme jím nějakou (nejčastěji prostorovou) oblast, která má definované hranice (rozhraní) s okolím. Okolí je tedy to, co systém obklopuje. Další pojem je bilanční časový interval, což je časový úsek, během kterého bilancované veličiny sledujeme. Základní bilanční rovnice má tvar

	VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE	(2.1)

Vstup je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do systému.

Výstup je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí ze systému přes rozhraní do okolí.

Zdroj je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval uvnitř systému vznikne nebo zanikne (rozumí se vznik z jiné, nebilancované veličiny, nebo změna na jinou, nebilancovanou veličinu).

Akumulace je změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř systému za bilanční časový interval.

Při bilancování musíme nejprve zvolit velikost bilančního časového intervalu. Volba je dána jednoduchým pravidlem:

pokud se bilance týká ustáleného stavu systému (tj. hodnoty veličin se s časem nemění), pak můžeme volit časový interval zcela libovolný, nejčastěji jednotkový,
pokud chceme modelovat systém jako proměnný v čase (tzv. dynamický model), pak musíme volit bilanční časový interval infinitesimálně malý, tj. dt.

Dalším důležitým krokem je volba hranic systému. Vycházíme při ní jednak ze skutečného (konstrukčního) tvaru systému, jednak z toho, zda chceme vytvořit model systému se soustředěnými parametry (v matematickém popisu nefigurují souřadnice jako nezávisle proměnné), nebo s rozloženými parametry (alespoň jedna souřadnice je v matematickém popisu použita jako nezávisle proměnná). Pravidlo pro volbu velikosti bilancovaného systému je opět (podobně jako u časového intervalu) jednoduché:

jedná-li se o model se soustředěnými parametry, volíme rozměry bilancovaného systému libovolně (např. podle konstrukčního tvaru aparátu),
jedná-li se o model s rozloženými parametry, pak rozměr bilancovaného systému ve směru té souřadnice, na níž problém závisí (figuruje v popisu jako nezávisle proměnná), musí být infinitesimálně malý (dx apod.).

S volbou rozhraní úzce souvisí volba vhodné souřadnicové soustavy. Tu se snažíme volit vždy tak, aby získaný matematický model byl co nejjednodušší. Základní souřadnicové soustavy jsou kartézská (pravoúhlá), cylindrická (válcová) a sférická (kulová). Jejich popis najdete v matematické literatuře. Při volbě se řídíme následujícími zásadami:

nejčastěji používáme kartézské souřadnice (jako nejobecnější),
pro problémy souměrné kolem osy používáme cylindrické souřadnice,
pro středově souměrné problémy používáme sférické souřadnice.

Velice důležitá je volba kladných směrů ve vybrané souřadnicové soustavě. Jestliže ji důsledně neprovádíme a nedodržujeme, vznikají neřešitelné znaménkové problémy vedoucí k nesprávným výsledkům. Pokud však jsme v jejich dodržování důslední, nemusíme se o znaménka vstupu, výstupu a akumulace vůbec starat - vycházejí automaticky. Fyzikální zákony už totiž ve svém matematickém vyjádření správné znaménko zahrnují. Znaménko musíme úvahou určit jedině pro zdrojový člen: jedná-li se o vznik veličiny, je jeho znaménko kladné, jedná-li se o zánik, je záporné.

Je třeba si uvědomit, že všechny odvozené rovnice musí být rozměrově homogenní. Doporučujeme tuto skutečnost vždycky zkontrolovat.

Počáteční a okrajové podmínky

U modelů popsaných diferenciálními rovnicemi musíme popis doplnit příslušným počtem okrajových a počátečních podmínek. Pro každou nezávisle proměnnou potřebujeme tolik vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v rovnicích se vyskytující řád derivace podle této proměnné. Formulace počátečních a okrajových podmínek je nedílnou součástí vytváření matematického modelu. Některé podmínky vyplývají zcela jednoduše ze zadání úlohy (např. na počátku je teplota ve všech bodech stejná a rovná určité hodnotě), jiné musíme odvodit stejnými postupy jako matematický model (např. na základě bilance). Jako kontrola správnosti jejich odvození nám může sloužit skutečnost, že obecně co do matematického tvaru existuje jen několik druhů podmínek, a tedy v konkrétním případě musíme dosáhnout shody s jedním z nich.

Pro popis obecného matematického tvaru druhů počátečních a okrajových podmínek použijeme následující označení veličin:

u ... závisle proměnná, t ... čas, x, y, z ... souřadnice,

f ... funkční předpis, jehož tvar známe a hodnotu funkce můžeme kdykoliv vypočíst.

Počáteční podmínka je obvykle jedna a definuje situaci na počátku řešení. Obecně ji můžeme zapsat ve tvaru

	pro t = t₀: u = f (x,y,z)	(2.2)

čili na počátku (v čase t₀) je závisle proměnná u známou funkcí souřadnic x, y, z.

Okrajové podmínky se vyskytují v případech, kde jako nezávisle proměnné vystupují souřadnice. Rozeznáváme tři základní typy okrajových podmínek :

a) okrajová podmínka 1.druhu (Dirichletova) :

	pro x = x₀ : u = f (y,z,t)	(2.3)

tj. hodnota závisle proměnné v místě x₀ je známou funkcí ostatních souřadnic a času.

b) okrajová podmínka 2.druhu (Neumannova) :

	pro x = x₀ :	137x49px	(2.4)

čili hodnota derivace závisle proměnné podle jedné souřadnice (např. podle x v bodě x₀)je známou funkcí ostatních souřadnic a času. Často se setkáváme s okrajovou podmínkou 2. druhu ve tvaru

	pro x = x₀ :	49x42px	(2.5)

tj. derivace závisle proměnné podle normály k nějaké ploše je nulová.

c) okrajová podmínka 3.druhu (Newtonova) :

	pro x = x₀ :	246x49px	(2.6)

tj. hodnota lineární kombinace hodnoty závisle proměnné u v bodě x₀a její derivace podle x v místě x₀ je známou funkcí ostatních souřadnic a času; konstanty a, b jsou koeficienty lineární kombinace.

Ukázkové příklady na vytváření matematických modelů Příklad M-1

Úkol: Vytvořit matematický model elektrického průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty.	253x88px

Známe:

objem ohřívače V, průtok vody Q, vstupní teplotu vody T₁, příkon topení 'P', účinnost topení h ,
hustotu vody r , měrné teplo vody 'c'_p

Předpoklady (tj. teoretický model):

Model budeme odvozovat pro systém se soustředěnými parametry (předpoklad dokonalého promíchávání obsahu ohřívače, tj. všude uvnitř je teplota stejná jako na výstupu), hustota a měrné teplo jsou nezávislé na teplotě.

Bilance:

Jako bilancovaný systém volíme celý ohřívač (nezávislost na souřadnici), jako bilanční časový interval volíme dt (hledáme model pro neustálený stav). Bilancovaná veličina bude energie (resp. entalpie). Jednotlivé členy bilanční rovnice jsou:

	VSTUP :	Qrc_pT₁.dt
	VÝSTUP :	Qrc_pT₂.dt
	ZDROJ :	Ph.dt
	AKUMULACE :	Vrc_p.dT₂

Dosazením do základní bilanční rovnice (2.1) a úpravou dostaneme výslednou diferenciální rovnici pro teplotu na výstupu ohřívače

	164x48px		(2.7)

Počáteční podmínku zformulujeme např. z předpokladu, že teplota na výstupu se na počátku rovná teplotě na vstupu, tedy

	pro t = 0 :	T₂(0) = T₁	(2.8)

Rovnice (2.7) a (2.8) tvoří hledaný matematický model. Příklad M-2

Úkol: Vytvořit matematický model pro stanovení časových změn teplotního průběhu podél teploměrné jímky vyčnívající ze stěny zařízení do proudícího média.	223x158px

Známe:

rozměry jímky (délku L, průřez S, obvod B), teplotu proudícího média 'T'_M, teplotu stěny 'T'_S,
tepelnou vodivost materiálu jímky l, hustotu materiálu jímky r, měrné teplo materiálu jímky 'c'_p,
koeficient přestupu tepla mezi povrchem jímky a proudícím médiem a

Předpoklady (tj. teoretický model):

Teplota je funkcí pouze souřadnice x a času t (tj. zanedbáváme rozdělení teploty na průřezu jímkou), teplo se vyměňuje s proudícím médiem na celém povrchu rovnoměrně, koncem jímky (x=L) se teplo nepředává, hodnoty fyzikálních parametrů jímky jsou v uvažovaném teplotním rozmezí konstantní.

Bilance:

Zanedbáváme rozložení teploty na průřezu jímky, takže vystačíme s jedinou souřadnicí x. Kladný směr osy x je zleva doprava. Jako bilancovaný systém volíme element („plátek“) vyříznutý z jímky kolmo k její délce, jeho délka je dx (protože nás zajímá závislost na souřadnici), vzdálenost tohoto elementu od počátku je obecně x. Jako bilanční časový interval volíme dt (protože nás zajímá i závislost na čase). Bilancujeme teplo a jednotlivé členy bilanční rovnice jsou:

	VSTUP :	78x42px
	VÝSTUP :	285x46px vedením konvekcí
	ZDROJ :	0
	AKUMULACE :	103x42px

První člen ve výrazu pro výstup (vedením) upravíme provedením naznačené derivace a po zanedbání derivace dx podle 'x' (diference 2.řádu) dostaneme

		155x52px

Pak dosadíme do základní bilanční rovnice (2.1) a upravíme. Výsledkem je hledaná parciální diferenciální rovnice pro teplotu T jako funkci souřadnice x a času t :

		189x50px	(2.9)

K této rovnici potřebujeme jednu počáteční a dvě okrajové podmínky. Počáteční podmínka definuje stav na počátku, tj. teplota jímky ve všech bodech se rovná teplotě stěny:

	pro t = 0 :	T(x,0) = T_S	(2.10)

Okrajová podmínka pro x=0 vychází ze zadání, že teplota jímky se trvale rovná teplotě stěny, tedy

	pro x = 0 :	T(0,t) = T_S	(2.11)

a okrajová podmínka pro konec jímky x=L se odvodí na základě předpokladu, že se koncem jímky teplo nepředává, tedy gradient teploty je nulový:

	pro x = L :	86x48px	(2.12)

Hledaný matematický model je tedy tvořen rovnicemi (2.9 - 2.12). Jen pro úplnost uvádíme, že rovnice (2.11) je okrajová podmínka 1.druhu (viz rov. 2.3) a rovnice (2.12) je okrajová podmínka 2.druhu (viz rov. 2.4). Příklad M-3

Úkol: Vytvořit matematický model zásobníku kapaliny určený pro sledování výšky hladiny kapaliny v něm v závislosti na změnách přítoku a odtoku. Na odtoku z nádrže je instalován ventil, jehož míru otevření je možné měnit, přítok do nádrže může kolísat.	260x150px

Známe:

tvar zásobníku (stojatý válec), plochu dna A, přítok kapaliny Q₁ a charakteristiku ventilu (vztah vyjadřující závislost průtoku Q na míře otevření x, na tlakovém spádu na ventilu Dp a hustotě kapaliny r; K_V je konstanta ventilu)

107x49px

Předpoklady (tj. teoretický model):

Pro náš případ je tlakový spád na ventilu dán hydrostatickým tlakem, tj. Dp = rgh, zanedbávají se tlakové ztráty prouděním kapaliny, hustota kapaliny je konstantní.

Bilance:

Jako bilancovaný systém volíme celou nádrž, bilancovanou veličinou je množství kapaliny, což lze v našem případě vyjádřit pouze objemem. Jednotlivé členy bilanční rovnice jsou:

	VSTUP :	Q₁.dt
	VÝSTUP :	301x26px
	ZDROJ :	0
	AKUMULACE :	A.dh

Dosazením do základní bilanční rovnice (2.1) a úpravou dostaneme výslednou diferenciální rovnici pro hladinu v nádrži

	134x42px		(2.13)

Počáteční podmínku zformulujeme např. z předpokladu, že výška hladiny na počátku odpovídá ustálenému stavu (přítok = odtok)

	pro t = 0 :	h(0) = h₀	(2.14)

Rovnice (2.13) a (2.14) tvoří hledaný matematický model.

Neregistrovaný

Hledat

Matematický model: Porovnání verzí

Jmenné prostory

Více

Možnosti stránky

Verze z 29. 1. 2024, 20:48

Vytváření matematických modelů

Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů

Navigace

Odkazy

Navigace

Wiki nástroje

Wiki nástroje

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-'''<span id="k21"><span style="mso-bookmark:_Toc496507649">2.1<span style="mso-spacerun: yes">  </span>Vytváření matematických modelů</span></span>'''
+= '''<span id="k21"><span style="mso-bookmark:_Toc496507649">Vytváření matematických modelů</span></span>''' =
+<span style="white-space-collapse: preserve; font-size: 14.4px;">Stav procesu je charakterizován hodnotami veličin, které jej popisují (tzv. stavové veličiny). Jsou to teplota, tlak, množství či koncentrace složek apod. Matematickým modelem procesu nebo zařízení rozumíme matematické vztahy mezi těmito veličinami, nejčastěji v závislosti na čase. Hovoříme pak o tzv. </span><strong style="white-space-collapse: preserve; font-size: 14.4px;">dynamice procesu</strong><span style="white-space-collapse: preserve; font-size: 14.4px;">. Matematickými vztahy jsou nejčastěji diferenciální rovnice (obyčejné i parciální) nebo jejich soustavy, ale také nelineární rovnice a jejich soustavy, soustavy lineárních rovnic apod. Pro účely automatického řízení se často užívá matematického popisu ve tvaru přenosové funkce, což má některé výhody, jak se dozvíme později.</span>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#FFFFCC" valign="top"| Obsah kapitoly:
-| bgcolor="#FFFFCC" width="781"| [[#k211|2.1.1  Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů]]
-[[#k212|2.1.2  Vytváření matematických modelů na základě bilancí]]
-[[#k213|2.1.3  Počáteční a okrajové podmínky]]
-[[#k214|2.1.4  Ukázkové příklady na vytváření matematických modelů]]
-|}
-Stav procesu je charakterizován hodnotami veličin, které jej popisují (tzv. stavové veličiny). Jsou to teplota, tlak, množství či koncentrace složek apod. Matematickým modelem procesu nebo zařízení rozumíme matematické vztahy mezi těmito veličinami, nejčastěji v závislosti na čase. Hovoříme pak o tzv. '''dynamice procesu'''. Matematickými vztahy jsou nejčastěji diferenciální rovnice (obyčejné i parciální) nebo jejich soustavy, ale také nelineární rovnice a jejich soustavy, soustavy lineárních rovnic apod. Pro účely automatického řízení se často užívá matematického popisu ve tvaru přenosové funkce, což má některé výhody, jak se dozvíme později.
 Matematické modely můžeme podle způsobu vytváření rozdělit na dvě základní kategorie: modely stochastické a modely deterministické (nebo také fyzikální).
@@ Řádek 24: / Řádek 7: @@
 * na základě předpokládaného chování systému zvolíme vhodný tvar matematického popisu (často to bývá přenosová funkce), který obsahuje parametry neznámých hodnot,
-* <span style="font-family:Symbol"><span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;"> </span></span>na vstup systému přivádíme proměnlivý signál (může být skutečný nebo uměle generovaný) a v pravidelných (krátkých) časových intervalech měříme hodnoty vstupního a výstupního signálu tak dlouho, až získáme dostatečně dlouhé řady odpovídajících dvojic hodnot,
+* <span style="font-family:Symbol"><span id="HTMLENTITY:1706624459593" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span>na vstup systému přivádíme proměnlivý signál (může být skutečný nebo uměle generovaný) a v pravidelných (krátkých) časových intervalech měříme hodnoty vstupního a výstupního signálu tak dlouho, až získáme dostatečně dlouhé řady odpovídajících dvojic hodnot,
 * výsledky měření zpracujeme tak, abychom získali hodnoty parametrů zvoleného matematického popisu systému.
@@ Řádek 31: / Řádek 14: @@
 <span style="mso-spacerun: yes"> '''Deterministické modely''' jsou odvozovány na základě analýzy a matematického popisu skutečné podstaty děje. Těmito modely se budeme podrobněji zabývat a shrneme hlavní zásady a postupy jejich vytváření.</span>
-'''<span id="k211"><span style="mso-bookmark:_Toc496507650">2.1.1<span style="mso-spacerun: yes">  </span>Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů</span></span>'''
+== <span id="k211">Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů</span> ==
-Proces (systém), který chceme matematicky popsat, se řídí podle určitých fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů, které mají své matematické vyjádření. Z tohoto vyjádření zákonů při sestavování deterministických modelů vycházíme. Někdy takto můžeme popsat všechny zadané podmínky a vztahy modelovaného procesu úplně a získat tak přesný matematický model. Takový matematický model ale bývá tak složitý, že jeho řešení je prakticky neproveditelné. Navíc většinou ani úplný popis získat nemůžeme, protože průběh děje do potřebných podrobností neznáme. V praxi ale obvykle nepotřebujeme naprosto přesné výsledky, stačí, když model vystihuje podstatné vlastnosti a chování procesu. Můžeme si tedy dovolit některé méně podstatné vlivy a vztahy zanedbat nebo zjednodušit. Konečným kritériem kvality a použitelnosti modelu je vždy jeho souhlas s realitou v souladu s účelem ke kterému byl vytvořen. Na obr. 2.1<span style="mso-spacerun: yes">  </span>jsou schématicky znázorněny jednotlivé fáze vytváření deterministického modelu.
+Proces (systém), který chceme matematicky popsat, se řídí podle určitých fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů, které mají své matematické vyjádření. Z tohoto vyjádření zákonů při sestavování deterministických modelů vycházíme. Někdy takto můžeme popsat všechny zadané podmínky a vztahy modelovaného procesu úplně a získat tak přesný matematický model. Takový matematický model ale bývá tak složitý, že jeho řešení je prakticky neproveditelné. Navíc většinou ani úplný popis získat nemůžeme, protože průběh děje do potřebných podrobností neznáme. V praxi ale obvykle nepotřebujeme naprosto přesné výsledky, stačí, když model vystihuje podstatné vlastnosti a chování procesu. Můžeme si tedy dovolit některé méně podstatné vlivy a vztahy zanedbat nebo zjednodušit. Konečným kritériem kvality a použitelnosti modelu je vždy jeho souhlas s realitou v souladu s účelem ke kterému byl vytvořen. Na obr. 2.1<span style="mso-spacerun: yes"> </span>jsou schématicky znázorněny jednotlivé fáze vytváření deterministického modelu.
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0" cellpadding="0"
 |-
-| width="5%"|
+| width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="85%"| [[File:F2K21-o21.gif|379x400px]]
+<br>
+| style="text-align: center;" width="85%" | [[File:F2K21-o21.gif|379x400px]]
-| width="10%"|
+| width="10%" |
-|-
+<br>
-| width="5%"|
+|-
-| style="text-align: center;" width="85%"| ''Obr.2.1 Postup vytváření matematického modelu''
+| width="5%" |
-| width="10%"|
+<br>
+| style="text-align: center;" width="85%" | ''Obr.2.1 Postup vytváření matematického modelu''
+| width="10%" |
+<br>
 |}
 '''První fází''' je důkladná <u>analýza procesu</u>, při níž musíme provést následující kroky:
-'''a)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>specifikujeme děje, které v procesu probíhají a určíme jejich podstatu,
+'''a)'''<span id="HTMLENTITY:1706593657368" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml"&gt; </span>specifikujeme děje, které v procesu probíhají a určíme jejich podstatu,
-'''b)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>vymezíme vlivy, které na proces a jeho průběh působí,
+'''b)'''<span id="HTMLENTITY:1706565475218" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml"&gt; </span>vymezíme vlivy, které na proces a jeho průběh působí,
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>určíme veličiny, které proces popisují,</span>
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span id="HTMLENTITY:1706637330195" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span>určíme veličiny, které proces popisují,</span>
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''d)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>o každém z výše uvedených prvků rozhodneme, zda jej budeme považovat za podstatný a do modelu jej zahrneme, či nikoliv,</span>
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''d)'''<span id="HTMLENTITY:1706569534490" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span>o každém z výše uvedených prvků rozhodneme, zda jej budeme považovat za podstatný a do modelu jej zahrneme, či nikoliv,</span>
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''e)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>o každém z výše uvedených prvků zahrnutých do modelu rozhodneme, zda jej budeme brát v úvahu v celé šíři a ve všech souvislostech, nebo zda použijeme nějaká zjednodušení.</span>
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''e)'''<span id="HTMLENTITY:1706592457468" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span>o každém z výše uvedených prvků zahrnutých do modelu rozhodneme, zda jej budeme brát v úvahu v celé šíři a ve všech souvislostech, nebo zda použijeme nějaká zjednodušení.</span>
-Výsledkem popsaného postupu je tzv. '''teoretický model'''. Ten sice nepopisuje zcela přesně skutečnost, ale<span style="mso-bidi-font-family:
+Výsledkem popsaného postupu je tzv. '''teoretický model'''. Ten sice nepopisuje zcela přesně skutečnost, ale<span style="mso-bidi-font-family:Arial"> jeho výhoda spočívá v jednoduchosti, přehlednosti a následně i ve snazším řešení výsledných rovnic.</span>
-Arial"> jeho výhoda spočívá v jednoduchosti, přehlednosti a následně i ve snazším řešení výsledných rovnic.</span>
 V bodu e) se hovoří o zjednodušování některých vztahů při tvorbě teoretického modelu. Je to je velmi důležitý krok, který musíme vždy provádět a navíc má podstatný vliv na kvalitu výsledného modelu. Uvádíme proto výčet <u>nejpoužívanějších zjednodušujících předpokladů</u>:
 <blockquote>* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">rozdělujeme složitý systém na jednodušší subsystémy a zpracováváme je odděleně, ovšem se zřetelem na jejich vzájemné souvislosti,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zavádíme neexistující formy, např. ideální plyn, ideální kapalina,</span>
-mso-bidi-font-family:Arial">zavádíme neexistující formy, např. ideální plyn, ideální kapalina,</span>
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">předpokládáme nezávislost látkových vlastností na teplotě,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">předpokládáme, že materiál je homogenní a isotropní, </span>
-mso-bidi-font-family:Arial">předpokládáme nezávislost látkových vlastností na teplotě,</span>
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">u systémů, kde probíhají současně pomalé a rychlé děje, předpokládáme, že rychlý děj již dosáhl rovnovážného stavu,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zanedbáváme ztráty, </span>
-mso-bidi-font-family:Arial">předpokládáme, že materiál je homogenní a isotropní,  </span>
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">nelineární závislosti linearizujeme,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zavádíme různé korekční (obvykle empirické) koeficienty,</span>
-mso-bidi-font-family:Arial">u systémů, kde probíhají současně pomalé a rychlé děje, předpokládáme, že rychlý děj již dosáhl rovnovážného stavu,</span>
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">používáme empiricky zjištěných vztahů a závislostí mezi veličinami,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zjednodušujeme geometrické proporce a volíme vhodné souřadnicové soustavy, abychom mohli co nejjednodušeji popsat geometrii systému,</span>
-mso-bidi-font-family:Arial">zanedbáváme ztráty,  </span>
+* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zaváděním některých předpokladů odstraňujeme závislost sledovaných veličin na souřadnicích - získáváme tím tzv. modely se soustředěnými parametry.</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">nelineární závislosti linearizujeme,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">zavádíme různé korekční (obvykle empirické) koeficienty,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">používáme empiricky zjištěných vztahů a závislostí mezi veličinami,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">zjednodušujeme geometrické proporce a volíme vhodné souřadnicové soustavy, abychom mohli co nejjednodušeji popsat geometrii systému,</span>
-* <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">zaváděním některých předpokladů odstraňujeme závislost sledovaných veličin na souřadnicích - získáváme tím tzv. modely se soustředěnými parametry.</span>
 </blockquote>
 Ve '''druhé fázi''' postupu sestavujeme na základě teoretického modelu <u>matematický popis procesu</u>. Znamená to provést následující kroky:
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span id="HTMLENTITY:1706582291690" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">výběr matematického popisu zákonitostí použitých v teoretickém modelu, </span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">výběr matematického popisu zákonitostí použitých v teoretickém modelu,  </span>
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span id="HTMLENTITY:1706607500260" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">vytvoření modelových rovnic, tj. doplnění vybraných vztahů o zjednodušující předpoklady a potřebné matematické úpravy,</span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">vytvoření modelových rovnic, tj. doplnění vybraných vztahů o zjednodušující předpoklady a potřebné matematické úpravy,</span>
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span id="HTMLENTITY:1706561391512" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">určení podmínek řešení (obvykle počáteční a okrajové podmínky pro řešení diferenciálních rovnic).</span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">určení podmínek řešení (obvykle počáteční a okrajové podmínky pro řešení diferenciálních rovnic).</span>
 <span id="k21-vzt"></span>V této fázi obvykle využíváme [[F2k21-mod-vzt.htm#k2-pril|matematických rovnic vyjadřujících známé zákony a vztahy]] z fyziky, fyzikální chemie, chemie atd. Výsledkem tohoto postupu je '''obecný matematický model procesu'''. Může se však také stát, že náš teoretický model matematicky popsat nedokážeme; potom musíme buď změnit teoretický model (zavést jiné nebo další předpoklady), nebo v krajním případě musíme použít vhodných experimentálních postupů a jejich vyhodnocením získat náhradní popis děje (např. stochastický model).
@@ Řádek 104: / Řádek 75: @@
 '''Třetí fází''' celého postupu je řešení modelu, to znamená vytvoření '''simulačního programu'''. Představuje to provést tyto kroky:
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span id="HTMLENTITY:1706595864857" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">volbu metody řešení modelových rovnic,</span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">volbu metody řešení modelových rovnic,</span>
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span id="HTMLENTITY:1706633195496" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">zpracování modelových rovnic pro řešení na počítači, tj. nalezení vhodného algoritmu řešení,</span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">zpracování modelových rovnic pro řešení na počítači, tj. nalezení vhodného algoritmu řešení,</span>
-<span style="font-size:11.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span id="HTMLENTITY:1706615263921" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">sestavení výpočetního programu, nejlépe s využitím vhodného simulačního jazyka.</span>
-mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''c)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">    </span></span><span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
-mso-bidi-font-family:Arial">sestavení výpočetního programu, nejlépe s využitím vhodného simulačního jazyka.</span>
 '''Čtvrtou fází''' je vytvoření tzv. '''simulačního modelu'''. Jejím výsledkem je počítačový program vhodný pro používání v praxi. Tato fáze zahrnuje následující kroky:
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>identifikace modelu, tj. nalezení neznámých hodnot parametrů modelu (např. porovnáním získaných výsledků řešení s údaji z literatury, s experimentálními hodnotami apod.),  </span>
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span id="HTMLENTITY:1706569748971" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span>identifikace modelu, tj. nalezení neznámých hodnot parametrů modelu (např. porovnáním získaných výsledků řešení s údaji z literatury, s experimentálními hodnotami apod.), </span>
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">       </span>verifikace modelu, tj. řešení kontrolních úloh a analýza jejich výsledků za účelem ověření správnosti modelu v celé předpokládané oblasti použití, posouzení přesnosti a vhodnosti modelu pro daný účel.  </span>
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">'''b)'''<span id="HTMLENTITY:1706585543991" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span>verifikace modelu, tj. řešení kontrolních úloh a analýza jejich výsledků za účelem ověření správnosti modelu v celé předpokládané oblasti použití, posouzení přesnosti a vhodnosti modelu pro daný účel. </span>
 <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">Pokud model vyhovuje, práci jsme úspěšně dokončili a můžeme modelu používat. Jestliže nevyhovuje, musíme zjistit, v čem jsme se dopustili chyby, který</span> <span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">předpoklad byl neoprávněný, které zjednodušení nepřípustné, který vliv jsme opominuli nebo neoprávněně zanedbali. Musíme zformulovat nový teoretický model a celý postup znovu zopakovat.</span>
@@ Řádek 126: / Řádek 91: @@
 Je zřejmé, že tvorba matematického modelu není nijak jednoduchou záležitostí. Má však jednu velkou přednost: přinutí nás důkladně si ujasnit podstatu a mechanismus studovaného děje.
-Na závěr bychom rádi zdůraznili jednu velmi důležitou zásadu: je třeba začínat vždy od teoretických modelů maximálně jednoduchých a komplikovat je teprve tehdy, když výsledky nevyhovují našim představám a požadavkům nebo praktickým zkušenostem.
+Na závěr bychom rádi zdůraznili jednu velmi důležitou zásadu: je třeba začínat vždy od teoretických modelů maximálně jednoduchých a komplikovat je teprve tehdy, když výsledky nevyhovují našim představám a požadavkům nebo praktickým zkušenostem.'''<span id="k212"><span style="mso-bookmark:_Toc496507651"><span style="mso-spacerun: yes"></span>Vytváření matematických modelů na základě bilancí</span></span>'''
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
-|
-| width="170"|
-|}
-'''<span id="k212"><span style="mso-bookmark:_Toc496507651">2.1.2<span style="mso-spacerun: yes">  </span>Vytváření matematických modelů na základě bilancí</span></span>'''
 Bilancemi rozumíme aplikaci zákonů o zachování na daný systém. Jejich využití při vytváření matematických modelů je velice časté - odhaduje se, že je to 70 až 80 % případů. Bilancovat lze jen tzv. extenzivní veličiny. V praxi se jedná nejčastěji o zákony o zachování hmoty a energie - hovoříme pak o látkových a energetických bilancích.
@@ Řádek 146: / Řádek 98: @@
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="85%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|   ''VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE''
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="85%" | ''VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.1)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.1)
 |}
-<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Vstup''</span>  je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do systému.</span>
+<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Vstup''</span> je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do systému.</span>
-<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Výstup''</span>  je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí ze systému přes rozhraní do okolí.</span>
+<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Výstup''</span> je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí ze systému přes rozhraní do okolí.</span>
-<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Zdroj''</span>  je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval uvnitř systému vznikne nebo zanikne (rozumí se vznik z jiné, nebilancované veličiny, nebo změna na jinou, nebilancovanou veličinu).</span>
+<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Zdroj''</span> je množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval uvnitř systému vznikne nebo zanikne (rozumí se vznik z jiné, nebilancované veličiny, nebo změna na jinou, nebilancovanou veličinu).</span>
-<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Akumulace''</span>  je změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř systému za bilanční časový interval.</span>
+<span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial"><span style="text-transform: uppercase; background-color: #CCFFFF">''Akumulace''</span> je změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř systému za bilanční časový interval.</span>
 Při bilancování musíme nejprve zvolit velikost bilančního časového intervalu. Volba je dána jednoduchým pravidlem:
@@ Řádek 166: / Řádek 119: @@
 * <span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial">pokud se bilance týká ustáleného stavu systému (tj. hodnoty veličin se s časem nemění), pak můžeme volit časový interval zcela libovolný, nejčastěji jednotkový,</span>
 * <span style="font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-bidi-font-family: Arial">pokud chceme modelovat systém jako proměnný v čase (tzv. dynamický model), pak musíme volit bilanční časový interval infinitesimálně malý, tj. ''dt''.</span>
 Dalším důležitým krokem je volba hranic systému. Vycházíme při ní jednak ze skutečného (konstrukčního) tvaru systému, jednak z toho, zda chceme vytvořit model systému se soustředěnými parametry (v matematickém popisu nefigurují souřadnice jako nezávisle proměnné), nebo s rozloženými parametry (alespoň jedna souřadnice je v matematickém popisu použita jako nezávisle proměnná). Pravidlo pro volbu velikosti bilancovaného systému je opět (podobně jako u časového intervalu) jednoduché:
@@ Řádek 177: / Řádek 129: @@
 * pro problémy souměrné kolem osy používáme [[F2k21b-mod-cs.htm|cylindrické souřadnice]],
 * pro středově souměrné problémy používáme [[F2k21c-mod-ss.htm|sférické souřadnice]].
 Velice důležitá je volba kladných směrů ve vybrané souřadnicové soustavě. Jestliže ji důsledně neprovádíme a nedodržujeme, vznikají neřešitelné znaménkové problémy vedoucí k nesprávným výsledkům. Pokud však jsme v jejich dodržování důslední, nemusíme se o znaménka vstupu, výstupu a akumulace vůbec starat - vycházejí automaticky. Fyzikální zákony už totiž ve svém matematickém vyjádření správné znaménko zahrnují. Znaménko musíme úvahou určit jedině pro zdrojový člen: jedná-li se o vznik veličiny, je jeho znaménko kladné, jedná-li se o zánik, je záporné.
 Je třeba si uvědomit, že všechny odvozené rovnice musí být rozměrově homogenní. Doporučujeme tuto skutečnost vždycky zkontrolovat.
+<strong style="font-size: 21.6px;">Počáteční a okrajové podmínky</strong>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
-|
-| width="170"|
-|}
-'''<span id="k213"></span>2.1.3<span style="mso-spacerun: yes">  </span>Počáteční a okrajové podmínky'''
 U modelů popsaných diferenciálními rovnicemi musíme popis doplnit příslušným počtem okrajových a počátečních podmínek. Pro každou nezávisle proměnnou potřebujeme tolik vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v rovnicích se vyskytující řád derivace podle této proměnné. Formulace počátečních a okrajových podmínek je nedílnou součástí vytváření matematického modelu. Některé podmínky vyplývají zcela jednoduše ze zadání úlohy (např. na počátku je teplota ve všech bodech stejná a rovná určité hodnotě), jiné musíme odvodit stejnými postupy jako matematický model (např. na základě bilance). Jako kontrola správnosti jejich odvození nám může sloužit skutečnost, že obecně co do matematického tvaru existuje jen několik druhů podmínek, a tedy v konkrétním případě musíme dosáhnout shody s jedním z nich.
@@ Řádek 199: / Řádek 139: @@
 Pro popis obecného matematického tvaru druhů počátečních a okrajových podmínek použijeme následující označení veličin:
-''<span style="background-color: #CCFFFF">u</span>'' ... závisle proměnná,              ''<span style="background-color: #CCFFFF">t</span>'' ... čas,            ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF">, ''y'', ''z'' </span> ... souřadnice,
+''<span style="background-color: #CCFFFF">u</span>'' ... závisle proměnná, ''<span style="background-color: #CCFFFF">t</span>'' ... čas, ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF">, ''y'', ''z'' </span> ... souřadnice,
 ''<span style="background-color: #CCFFFF">f</span>'' <span style="background-color: #CCFFFF"> </span> ... funkční předpis, jehož tvar známe a hodnotu funkce můžeme kdykoliv vypočíst.
@@ Řádek 206: / Řádek 146: @@
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="85%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro<span style="mso-spacerun: yes">  </span>''t'' = ''t''<sub>0</sub>:<span style="mso-tab-count:2">               </span>''u'' = ''f (x,y,z)''
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="85%" | pro<span style="mso-spacerun: yes"> </span>''t'' = ''t''<sub>0</sub>:<span style="mso-tab-count:2"> </span>''u'' = ''f (x,y,z)''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.2)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.2)
 |}
-<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
+<span style="font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-family:Arial">čili na počátku (v čase <span style="mso-bidi-font-style: normal; background-color: #CCFFFF">''t''<sub>0</sub></span>) je závisle proměnná ''u'' známou funkcí souřadnic ''x, y, z''.</span>
-mso-bidi-font-family:Arial">čili na počátku (v čase <span style="mso-bidi-font-style: normal; background-color: #CCFFFF">''t''<sub>0</sub></span>) je závisle proměnná ''u'' známou funkcí souřadnic ''x, y, z''.</span>
 '''Okrajové podmínky''' se vyskytují v případech, kde jako nezávisle proměnné vystupují souřadnice. Rozeznáváme tři základní typy okrajových podmínek :
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial">'''a)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">      </span></span><u><span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial">okrajová podmínka 1.druhu (Dirichletova) :</span></u>
+<span id="HTMLENTITY:1706559960909" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial" class="mwt-preserveHtml" &gt;'''a)'''<span id="HTMLENTITY:1706650540738" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><u><span id="HTMLENTITY:1706642942729" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial" class="mwt-preserveHtml" &gt;okrajová podmínka 1.druhu (Dirichletova) :</span></u>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" bgcolor="#CCFFFF" cellspacing="0"
+{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0" bgcolor="#CCFFFF"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="85%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> : <span style="mso-tab-count:2">            </span>''         u'' = ''f (y,z,t)''
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="85%" | pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> : <span style="mso-tab-count:2"> </span>'' u'' = ''f (y,z,t)''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.3)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.3)
 |}
+<span id="HTMLENTITY:1706590530544" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial" class="mwt-preserveHtml" &gt;tj. hodnota závisle proměnné v místě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub></span><span style="mso-spacerun: yes"> </span>je známou funkcí ostatních souřadnic a času.</span>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;;mso-bidi-font-family:Arial">tj. hodnota závisle proměnné v místě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub></span><span style="mso-spacerun: yes">  </span>je známou funkcí ostatních souřadnic a času.</span>
+<span id="HTMLENTITY:1706610720153" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;'''b)'''<span id="HTMLENTITY:1706633341335" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><u><span id="HTMLENTITY:1706587528829" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;okrajová podmínka 2.druhu (Neumannova) :</span></u>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">'''b)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">      </span></span><u><span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">okrajová podmínka 2.druhu (Neumannova) :</span></u>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="20%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="20%" | pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
-| style="text-align: center;" width="65%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-r24.gif|137x49px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="65%" | [[File:F2k21-r24.gif|137x49px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.4)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.4)
 |}
+<span id="HTMLENTITY:1706595022884" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;čili hodnota derivace závisle proměnné podle jedné souřadnice (např. podle ''x''<span style="mso-spacerun: yes"> </span>v bodě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub></span>)<sub><span style="mso-spacerun: yes"> </span></sub>je známou funkcí ostatních souřadnic a času. Často se setkáváme s okrajovou podmínkou 2. druhu ve tvaru</span>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">čili hodnota derivace závisle proměnné podle jedné souřadnice (např. podle ''x''<span style="mso-spacerun: yes">  </span>v bodě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub></span>)<sub><span style="mso-spacerun: yes">  </span></sub>je známou funkcí ostatních souřadnic a času. Často se setkáváme s okrajovou podmínkou 2. druhu ve tvaru</span>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0" bgcolor="#CCFFFF"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="20%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="20%" | pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
-| style="text-align: center;" width="65%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-r25.gif|49x42px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="65%" | [[File:F2k21-r25.gif|49x42px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.5)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.5)
 |}
+<span id="HTMLENTITY:1706607783515" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;tj. derivace závisle proměnné podle normály k nějaké ploše je nulová. </span>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">tj. derivace závisle proměnné podle normály k nějaké ploše je nulová.  </span>
+<span id="HTMLENTITY:1706566094085" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;'''c)'''<span id="HTMLENTITY:1706574532867" style="font:7.0pt <span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt; </span></span><u><span id="HTMLENTITY:1706586464654" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;okrajová podmínka 3.druhu (Newtonova) :</span></u><span id="HTMLENTITY:1706566276329" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;<span style="mso-tab-count:1"> </span></span>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">'''c)'''<span style="font:7.0pt &quot;Times New Roman&quot;">      </span></span><u><span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">okrajová podmínka 3.druhu (Newtonova) :</span></u><span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;"><span style="mso-tab-count:1">   </span></span>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="20%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="20%" | pro ''x'' = ''x''<sub>0</sub> :
-| style="text-align: center;" width="65%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-r26.gif|246x49px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="65%" | [[File:F2k21-r26.gif|246x49px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.6)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.6)
 |}
+<span id="HTMLENTITY:1706651030858" style="font-family:<span class=" title="&quot;" contenteditable="false" draggable="true" mwt-noneditable="" mwt-wikimagic="" mwt-placeholder="" mwt-htmlentity="" span="">Times New Roman&quot;" class="mwt-preserveHtml" &gt;tj. hodnota lineární kombinace hodnoty závisle proměnné ''u'' v bodě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<sub><span style="background-color: #CCFFFF">0</span><span style="mso-spacerun: yes"> </span></sub>a její derivace podle ''x'' v místě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub> </span> je známou funkcí ostatních souřadnic a času; konstanty ''a, b'' jsou koeficienty lineární kombinace. </span>
-<span style="font-family:&quot;Times New Roman&quot;">tj. hodnota lineární kombinace hodnoty závisle proměnné ''u'' v bodě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<sub><span style="background-color: #CCFFFF">0</span><span style="mso-spacerun: yes">  </span></sub>a její derivace podle ''x'' v místě ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''<span style="background-color: #CCFFFF"><sub>0</sub> </span> je známou funkcí ostatních souřadnic a času; konstanty ''a, b'' jsou koeficienty lineární kombinace.  </span>
+<strong style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;; font-size: 21.6px;">Ukázkové příklady na vytváření matematických modelů</strong>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
-|
-| width="170"|
-|}
-<span style="font-family: Times New Roman">'''<span id="k214"></span>2.1.4  Ukázkové příklady na vytváření matematických modelů'''</span>
 <u>'''Příklad M-1'''</u>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| valign="top"| <u>Úkol:</u>
+| valign="top" | <u>Úkol:</u>
 Vytvořit matematický model elektrického průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty.
-| width="40%"| [[File:F2k21-opr1.gif|253x88px]]
+| width="40%" | [[File:F2k21-opr1.gif|253x88px]]
 |}
@@ Řádek 302: / Řádek 230: @@
 <u>Známe:</u>
-objem ohřívače ''V'', průtok vody ''Q'', vstupní teplotu vody ''T<sub>1</sub>'', příkon topení ''''P'''', účinnost topení <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF">h</span> , <br />
+objem ohřívače ''V'', průtok vody ''Q'', vstupní teplotu vody ''T<sub>1</sub>'', příkon topení ''''P'''', účinnost topení <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF">h</span> , <br>
-hustotu<span style="mso-spacerun: yes">  </span>vody <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF">r</span> , měrné teplo vody<span style="mso-spacerun: yes">  </span>''''c''''<sub>''p''</sub>
+hustotu<span style="mso-spacerun: yes"> </span>vody <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF">r</span> , měrné teplo vody<span style="mso-spacerun: yes"> </span>''''c''''<sub>''p''</sub>
 <u>Předpoklady (tj. teoretický model):</u>
@@ Řádek 314: / Řádek 242: @@
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
-| style="text-align: center;" width="22%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VSTUP :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="22%" | VSTUP :
-| style="text-align: center;" width="60%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''Q''r''c<sub>p</sub>T''<sub>1</sub>.''dt''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="60%" | ''Q''r''c<sub>p</sub>T''<sub>1</sub>.''dt''
-|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+<br>
-| style="text-align: center;" width="22%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VÝSTUP :
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="22%" | VÝSTUP :
-| style="text-align: center;" width="60%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''Q''r''c<sub>p</sub>T''<sub>2</sub>.''dt''
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="60%" | ''Q''r''c<sub>p</sub>T''<sub>2</sub>.''dt''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
-|-
+<br>
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+|-
-| style="text-align: center;" width="22%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| ZDROJ :
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="22%" | ZDROJ :
-| style="text-align: center;" width="60%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''P''h.''dt''
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="60%" | ''P''h.''dt''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="22%" | AKUMULACE :
-|-
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="60%" | ''V''r''c<sub>p</sub>.dT''<sub>2</sub>
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-| style="text-align: center;" width="22%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| AKUMULACE :
-| style="text-align: center;" width="60%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''V''r''c<sub>p</sub>.dT''<sub>2</sub>
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
 |}
 Dosazením do základní bilanční rovnice (2.1) a úpravou dostaneme výslednou diferenciální rovnici pro teplotu na výstupu ohřívače
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="7%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="7%" |
-| style="text-align: center;" width="67%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| [[File:F2k21-r27.gif|164x48px]]
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="67%" | [[File:F2k21-r27.gif|164x48px]]
-| style="text-align: center;" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" |
+<br>
-| width="12%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.7)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="12%" | (2.7)
 |}
 Počáteční podmínku zformulujeme např. z předpokladu, že teplota na výstupu se na počátku rovná teplotě na vstupu, tedy
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="7%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="7%" |
-| style="text-align: center;" width="18%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''t'' = 0 :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="18%" | pro ''t'' = 0 :
-| style="text-align: center;" width="65%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''T''<sub>2</sub>(0) = ''T''<sub>1</sub>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="65%" | ''T''<sub>2</sub>(0) = ''T''<sub>1</sub>
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.8)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.8)
 |}
 Rovnice (2.7) a (2.8) tvoří hledaný matematický model.
+<u style="font-size: 14.4px;">'''Příklad M-2'''</u>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
+| valign="top" | <u>Úkol:</u>
-|
-| width="170"|
-|}
-<u>'''Příklad M-2'''</u>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| valign="top"| <u>Úkol:</u>
 Vytvořit matematický model pro stanovení časových změn teplotního průběhu podél teploměrné jímky vyčnívající ze stěny zařízení do proudícího média.
-| width="40%"| [[File:F2k21-opr2.gif|223x158px]]
+| width="40%" | [[File:F2k21-opr2.gif|223x158px]]
 |}
@@ Řádek 399: / Řádek 319: @@
 <u>Známe:</u>
-rozměry jímky (délku ''L'', průřez ''S'', obvod ''B''), teplotu proudícího média ''''T''''<sub>''M''</sub>, teplotu stěny ''''T''''<sub>''S''</sub>, <br />
+rozměry jímky (délku ''L'', průřez ''S'', obvod ''B''), teplotu proudícího média ''''T''''<sub>''M''</sub>, teplotu stěny ''''T''''<sub>''S''</sub>, <br>
-tepelnou vodivost materiálu jímky <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF; mso-bidi-font-style: normal">l</span>, hustotu materiálu jímky <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF; mso-bidi-font-style: normal">r</span>, měrné teplo materiálu jímky ''''c''''<sub>''p''</sub>, <br />
+tepelnou vodivost materiálu jímky <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF; mso-bidi-font-style: normal">l</span>, hustotu materiálu jímky <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; background-color: #CCFFFF; mso-bidi-font-style: normal">r</span>, měrné teplo materiálu jímky ''''c''''<sub>''p''</sub>, <br>
 koeficient přestupu tepla mezi povrchem jímky a proudícím médiem <span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Arial; mso-hansi-font-family: Arial; mso-bidi-font-style: normal; background-color: #CCFFFF">a</span>
@@ Řádek 409: / Řádek 329: @@
 <u>Bilance:</u>
-<span style="mso-tab-count:1"></span>Zanedbáváme rozložení teploty na průřezu jímky, takže vystačíme s jedinou souřadnicí ''x''. Kladný směr osy ''x'' je zleva doprava. Jako bilancovaný systém volíme element („plátek“) vyříznutý z jímky kolmo k její délce, jeho délka je ''dx''<span style="mso-spacerun: yes">  </span>(protože nás zajímá závislost na souřadnici), vzdálenost tohoto elementu od počátku je obecně ''x''. Jako bilanční časový interval volíme ''dt'' (protože nás zajímá i závislost na čase). Bilancujeme teplo a jednotlivé členy bilanční rovnice jsou:
+<span style="mso-tab-count:1"></span>Zanedbáváme rozložení teploty na průřezu jímky, takže vystačíme s jedinou souřadnicí ''x''. Kladný směr osy ''x'' je zleva doprava. Jako bilancovaný systém volíme element („plátek“) vyříznutý z jímky kolmo k její délce, jeho délka je ''dx''<span style="mso-spacerun: yes"> </span>(protože nás zajímá závislost na souřadnici), vzdálenost tohoto elementu od počátku je obecně ''x''. Jako bilanční časový interval volíme ''dt'' (protože nás zajímá i závislost na čase). Bilancujeme teplo a jednotlivé členy bilanční rovnice jsou:
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
-| style="text-align: center;" width="14%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VSTUP :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="14%" | VSTUP :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-rpr21.gif|78x42px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-rpr21.gif|78x42px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="14%" | VÝSTUP :
-|-
+| style="text-align: center;" valign="top" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-rpr22.gif|285x46px]]<br>
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-| style="text-align: center;" width="14%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VÝSTUP :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="top"|       [[File:F2k21-rpr22.gif|285x46px]]<br />
-                   ''vedením                                  konvekcí''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-|-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-| style="text-align: center;" width="14%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| ZDROJ :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|            0
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+ ''vedením                                  konvekcí''
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="14%" | ZDROJ :
-|-
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | 0
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-| style="text-align: center;" width="14%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| AKUMULACE :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-rpr24.gif|103x42px]]
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="14%" | AKUMULACE :
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-rpr24.gif|103x42px]]
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
 |}
+První člen ve výrazu pro výstup (''vedením'') upravíme provedením naznačené derivace a po zanedbání derivace ''dx'' podle ''''x'''' (diference 2.řádu) dostaneme
-První člen ve výrazu pro výstup (''vedením'') upravíme provedením naznačené derivace a po zanedbání derivace  ''dx'' podle ''''x'''' (diference 2.řádu) dostaneme
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
-| style="text-align: center;" width="14%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="14%" |
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-rpr22a.gif|155x52px]]
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-rpr22a.gif|155x52px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
 |}
+Pak dosadíme do základní bilanční rovnice<span style="mso-spacerun: yes"> </span>(2.1)<span style="mso-spacerun:yes"> </span>a upravíme. Výsledkem je hledaná parciální diferenciální rovnice pro teplotu ''T'' jako funkci souřadnice ''x'' a času ''t'' :
-Pak dosadíme do základní bilanční rovnice<span style="mso-spacerun: yes">  </span>(2.1)<span style="mso-spacerun:
-yes">  </span>a upravíme. Výsledkem je hledaná parciální diferenciální rovnice pro teplotu ''T'' jako funkci souřadnice ''x'' a času ''t'' :
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="5%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="5%" |
-| style="text-align: center;" width="17%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|
+<br>
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-r29.gif|189x50px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="17%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-r29.gif|189x50px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.9)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.9)
 |}
 K této rovnici potřebujeme jednu počáteční a dvě okrajové podmínky. Počáteční podmínka definuje stav na počátku, tj. teplota jímky ve všech bodech se rovná teplotě stěny:
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="7%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="7%" |
-| style="text-align: center;" width="15%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''t'' = 0 :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="15%" | pro ''t'' = 0 :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''T''(''x'',0) = ''T<sub>S</sub>''
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | ''T''(''x'',0) = ''T<sub>S</sub>''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.10)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.10)
 |}
 Okrajová podmínka pro x=0 vychází ze zadání, že teplota jímky se trvale rovná teplotě stěny, tedy
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="7%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="7%" |
-| style="text-align: center;" width="15%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = 0 :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="15%" | pro ''x'' = 0 :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''T''(0,''t'') = ''T<sub>S</sub>''
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | ''T''(0,''t'') = ''T<sub>S</sub>''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.11)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.11)
 |}
 a okrajová podmínka pro konec jímky ''<span style="background-color: #CCFFFF">x</span>''=''<span style="background-color: #CCFFFF">L</span>'' se odvodí na základě předpokladu, že se koncem jímky teplo nepředává, tedy gradient teploty je nulový:
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="7%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="7%" |
-| style="text-align: center;" width="15%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''x'' = ''L'' :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="15%" | pro ''x'' = ''L'' :
-| style="text-align: center;" width="68%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-r212.gif|86x48px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="68%" | [[File:F2k21-r212.gif|86x48px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.12)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.12)
 |}
 Hledaný matematický model je tedy tvořen rovnicemi (2.9 - 2.12). Jen pro úplnost uvádíme, že rovnice (2.11) je okrajová podmínka 1.druhu (viz rov. 2.3) a rovnice (2.12) je okrajová podmínka 2.druhu (viz rov. 2.4).
+<u>'''Příklad M-3'''</u>
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
+| valign="top" | <u>Úkol:</u>
-|
-| width="170"|
-|}
- <u>'''Příklad M-3'''</u>
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| valign="top"| <u>Úkol:</u>
 Vytvořit matematický model zásobníku kapaliny určený pro sledování výšky hladiny kapaliny v něm v závislosti na změnách přítoku a odtoku. Na odtoku z nádrže je instalován ventil, jehož míru otevření je možné měnit, přítok do nádrže může kolísat.
-| width="40%"| [[File:F2k21-opr3.gif|260x150px]]
+| width="40%" | [[File:F2k21-opr3.gif|260x150px]]
 |}
@@ Řádek 551: / Řádek 479: @@
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
-| style="text-align: center;" width="18%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VSTUP :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="18%" | VSTUP :
-| style="text-align: center;" width="64%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''Q''<sub>1</sub>.''dt''
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="64%" | ''Q''<sub>1</sub>.''dt''
-|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+<br>
-| style="text-align: center;" width="18%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| VÝSTUP :
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="18%" | VÝSTUP :
-| style="text-align: center;" width="64%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       [[File:F2k21-rpr3-2.gif|301x26px]]
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="64%" | [[File:F2k21-rpr3-2.gif|301x26px]]
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
-|-
+<br>
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+|-
-| style="text-align: center;" width="18%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| ZDROJ :
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="18%" | ZDROJ :
-| style="text-align: center;" width="64%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       0
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="64%" | 0
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
+|-
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="18%" | AKUMULACE :
-|-
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="64%" | ''A.dh''
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
-| style="text-align: center;" width="18%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| AKUMULACE :
-| style="text-align: center;" width="64%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''A.dh''
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" |
+<br>
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
 |}
 Dosazením do základní bilanční rovnice (2.1) a úpravou dostaneme výslednou diferenciální rovnici pro hladinu v nádrži
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="75" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="75" |
-| style="text-align: center;" width="643" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| [[File:F2k21-rpr3-213.gif|134x42px]]
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="643" | [[File:F2k21-rpr3-213.gif|134x42px]]
-| style="text-align: center;" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle" width="136"|
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="136" |
+<br>
-| width="114" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.13)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="114" | (2.13)
 |}
 Počáteční podmínku zformulujeme např. z předpokladu, že výška hladiny na počátku odpovídá ustálenému stavu (přítok = odtok)
 {| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
 |-
-| width="8%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"|
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="8%" |
-| style="text-align: center;" width="12%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"| pro ''t'' = 0 :
+<br>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="12%" | pro ''t'' = 0 :
-| style="text-align: center;" width="70%" bgcolor="#CCFFFF" valign="middle"|       ''h''(0) = ''h''<sub>0</sub>
+| style="text-align: center;" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="70%" | ''h''(0) = ''h''<sub>0</sub>
-| width="10%" valign="middle" bgcolor="#CCFFFF"| (2.14)
+| valign="middle" bgcolor="#CCFFFF" width="10%" | (2.14)
 |}
 Rovnice (2.13) a (2.14) tvoří hledaný matematický model.
-{| class="wikitable" border="0" width="100%" cellspacing="0"
-|-
-| style="text-align: center;" width="170" bgcolor="#66FF33"| [[#k21|na začátek kapitoly]]
-|
-| width="170"|
-|}

Neregistrovaný

Hledat

Matematický model: Porovnání verzí

Verze z 29. 1. 2024, 20:48

Vytváření matematických modelů

Obecný postup vytváření deterministických matematických modelů

Navigace

Wiki nástroje

Nástroje ke stránkám

Kategorie